在蒙古国给中国打电话和发短信的方式如下：

• 打电话：

• 拨打中国固定电话：先拨国际长途冠字 “00”，再拨中国的国际长途电话区号 “86”，接着去掉国内长途区号前面的 “0”，拨打电话所在城市的区号，最后拨对方的固定电话号码。例如，要拨打北京的固定电话，号码是 12345678，那么拨号顺序就是 00861012345678。

• 拨打中国手机：拨打 “0086” 加上中国的手机号码。比如中国手机号码是 13812345678，在蒙古国拨打时就拨 008613812345678。

• 发短信：在手机短信界面输入对方中国手机号码，号码前需加上 “+86” 或 “0086”，然后输入短信内容发送即可。例如，对方手机号是 13654321098，那么在收件人号码处输入 “+8613654321098”，再编辑短信内容发送。

需要注意的是，在蒙古国使用当地电话卡或开通了国际漫游的手机才能进行上述操作，并且可能会产生一定的费用。不同的运营商收费标准不同，具体资费可以向相关运营商咨询。